Ⅰ 期權的定價方法
這是一個老題目了，在知乎里也有一些類似的問題，但總感覺所有回答都有所欠缺，所以希望在這里對所有的數值方法進行一個梳理。按照我個人的分類，期權定價的數值方法分為五個大類：解析解方法，樹方法，偏微分方程數值解方法，蒙特卡洛方法，傅立葉變換方法。
1）解析解方法：
一個期權定價問題，其實就是根據已知的隨機微分方程（SDE）模型，然後來求解關於這個隨機過程函數表達式的過程。這也是為什麼隨機微積分和Ito lemma會是金融工程的核心知識之一，因為Ito直接告訴了我們一個隨機過程的函數所滿足的新SDE：
m{d}f(t, X_{t})=frac{partial f}{partial t} m{d}t + frac{partial f}{partial X_t} m{d}X_t + frac{1}{2}frac{partial^2 f}{partial X_t^2} m{d}[X, X]_t
然後，如果我們可以求出這個SDE的解析解，那麼一個歐式無路徑依賴期權的價格就是它在終值時刻折現的期望值。這就是一種期權定價的解析解方法，當然你也可以利用PDE來求解，由於Feynman Kac定理的存在，PDE和條件期望的答案會是一致的。
而這類方法的優點是顯而易見的，一旦解析解存在，那麼期權的價格公式計算速度就會非常之快，不論做擬合還是優化都會有效率上質的提升，而這類方法的缺點也很明顯，那就是，對於大部分模型和大部分奇異期權，解析解未必存在。
2）樹方法
之所以叫樹方法而不叫二叉樹，是因為我們也將討論三叉樹模型，但其實本質思想是一模一樣的。
如果告知你了一個標的資產的波動率，那麼你可以通過下述式子構造一個N段的二叉樹的上下波動：
u = m{e}^{sigmasqrt{T/N}}, d = m{e}^{-sigmasqrt{T/N}}
然後利用逆推，來得到初始時刻的期權價格。
那麼三叉樹呢？首先要明白一個道理，除了滿足了下列條件的三叉樹模型(u是上叉，d是下叉，l是中叉)
其餘的三叉樹都是incomplete market。在其餘的樹模型下，我們只能做到super-replicate，而不能完成perfect hedge。而這獨有的一種三叉樹模型，也成為了最常用的樹模型之一。或許有人好奇為什麼有二叉樹了，還有人使用更麻煩的三叉樹。這是因為三叉樹的收斂速度要高於二叉樹。
那麼樹模型的優缺點又是什麼呢？樹模型有一個任何連續時間模型都無法取代的優點，那就是每一個定價，在樹模型里，不論美式、歐式、路徑依賴、奇異，通過Backward Inction Principle得到價格，永遠都是伴隨著顯式對沖策略的。而在連續時間模型里，想獲得連續時間對沖策略的這類問題，是一個倒向隨機微分方程（BSDE）問題，有很多時候並不是那麼好解決的，尤其是當期權有奇異或美式屬性的時候。
另一方面，樹模型缺點也顯而易見，高維度問題樹模型是不能解決的，所以對於多個標的資產的問題，尤其是具有相關系數的資產，我們只能訴之於他法。而從速度上來講，樹模型的收斂速度是要低於PDE方法的。
3）PDE方法
很多對於quantitative finance陌生的人也會聽說過Black Scholes PDE。而實際上，不同的隨機模型，都會對應不同的PDE。BS PDE只不過是單資產符合幾何布朗運動隨機模型的PDE表達罷了。因為對於期權，我們往往知曉它最終到期日的payoff，所以我們用payoff函數來作為這個PDE的終值條件。
如果PDE存在解析解，最優辦法自然也是求解析解。然而，如果解析解不存在，我們就必須訴諸數值方法。最常用的數值解方法就是有限差分，也就是將所有變數構造一個網格，然後利用網格上的差分方法來估計偏導數，進而將PDE問題轉化為代數問題。而對於期權定價的PDE，我們會根據期權的性質，獲得這個PDE終值條件和邊值條件。然而，有時候根據不同的模型，我們可能得到的並不是一個簡單的PDE，而可能是PIDE（partial integral differential equation），也就是在PDE中多了積分項，這時候，我們需要同時再藉助數值積分來完成數值計算。
PDE的數值問題自然還有很多的選擇，有限元、譜方法都在列。但期權定價PDE本身並不像很多物理PDE有很大的非線性程度，邊界也並沒有那麼奇怪，所以基本上有限差分是可以解決絕大部分問題的。
有限差分法分三種：顯式差分，隱式差分，交錯差分。我們不深入研究演算法，但幾個點就是：穩定性上，顯式差分是條件穩定的，另外兩種都是無條件穩定；計算復雜度上，顯示最簡單，隱式次之，交錯最繁瑣；精確性上，顯式、隱式是同階的，交錯差分的特殊情形，顯式和隱式各佔一半時，也就是Crank-Nicolson差分，精度會在時間上也上升一階。
另外，在期權定價中PDE有兩大類，正向和倒向。傳統的BS PDE就是倒向的一個典型例子，它的終值條件就是期權的payoff function。而一個倒向PDE所對應的正向PDE，它不再是期權價格滿足的PDE，而是這個標的的「價格密度」所滿足的PDE。這個「價格密度」被稱為State price，或者Arrow Debreu price，抑或是Green function。而這個在我之前的一篇文章有介紹過
Arrow Debreu price與快速擬合
而PDE方法的缺點主要有兩點：路徑依賴問題，高維度問題。很多路徑依賴問題的PDE形式是很麻煩，甚至無法表達的，比如亞氏期權，比如回望期權。而對於高維度問題，如果PDE的數值方法會從平面網格上升到空間網格，在復雜度上不但繁瑣，而且在邊值條件上更難以控制。而PDE的優點則是速度快，而且根據差分的數值方法，在計算Greeks的時候不需要加以再次的bumping計算。舉個例子，如果不降維，一個具有兩個assets的期權的有限差分就是這樣的一個立方網格：
4）蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法是目前應用范圍最廣泛的方法了。因為不存在提前行權屬性的期權價格其實就是一個期望，所以我們就可以通過模擬很多的路徑，來用平均數估計真實期望。而美式或百慕大這種具有提前行權屬性的期權，它的期權價格其實是一個隨機優化問題。這類問題我們可以採用regression-based Monte Carlo，也就是最小二乘蒙特卡洛，利用regression來估計conditional NPV，然後再用蒙特卡洛求解當前價值。
所以說，蒙特卡洛方法是最為general的方法了。然而，蒙特卡洛的缺點也是顯而易見：因為要模擬上百萬條路徑，而且對於奇異期權還要做路徑上的計算，美式更要做回歸，蒙特卡洛方法成為了計算時間長的代名詞。但幸運的是，我們有三種提速的方法：1，利用方差縮減，在保證方差恆定的基礎上，可以減少模擬路徑；2，利用Multi-level 蒙特卡洛，減少complexity；3，利用GPU或超級計算機，進行並行計算。
對於普通蒙特卡洛方法，上述三種方法都是可行的，而且GPU的提速是非常顯著的。對於方差縮減，得強調一點的就是，一般而言，最簡單的方式是對偶變數，其次是控制變數，然後是利用條件期望，最難的是importance sampling，而在效果和適用范圍上，它們的排序往往是剛好相反的。比如美式期權的最小二乘蒙特卡洛，方差縮減的最有效手法就是important sampling，其他方法的效果很小。
這里另外再著重強調一下最小二乘蒙特卡洛。最小二乘蒙特卡洛的流程大致如下：首先，正向模擬標的路徑；其次，倒向在每個時間節點，對所有路徑值進行回歸，估算條件期望，直到初始時間點；最後，求平均。所以值得注意的一點就是，在這里，如果單純使用GPU cluster進行提速，效果並不是很理想，因為路徑模擬並不是最消耗時間的步驟，對所有路徑回歸才是。雖然如此，但其實還是可以用GPU cluster來對回歸精度加以提升，比如可以將路徑進行歸類，然後將global regressor轉換成多個local regressor。
總的來說，蒙特卡洛方法是期權定價中適用范圍最廣的數值方法，但也是最慢的方法。然而，我們可以利用方差縮減、復雜度縮減，以及GPU計算來優化我們的蒙特卡洛演算法，達到提速與增加精確性的目的。
5）傅立葉方法
傅立葉方法也被稱為特徵函數法，利用的就是對於很多的模型，它們的特徵函數往往是顯式表達的，比如靠具有independent increment的infinitely divisible process來決定的模型，因為在這樣的情況下，我們有Levy-Khintchine representation，很多擬合性質很好的過程，比如Variance Gamma，Normal Inverse Gaussian都屬於這一類。而特徵函數實際上可以看作是一個隨機變數的傅立葉變換，這也就是這個名字的由來。
如果我們有顯式表達的特徵函數，我們可以通過傅立葉逆變換來得到原隨機變數的密度，進而達到求解期權價格的目的。一般來講，這樣的方法要比PDE方法更加快速，因為數值積分的速度要比微分方程數值解的速度要快。然而，這類方法的缺陷也是顯而易見的，路徑依賴性和維度問題，以及我們必須要有顯式表達的特徵函數。
總結：
在這里，我們只講一些面上的東西。具體深入的東西，我會在公眾號：衍生財經上詳談。
Ⅱ 期權的價格是如何決定的
期權的價格是由內在價值和時間價值組成。期權權利方(買方)將權利金支付給期權義務方(賣方)，以此獲得期權合約所賦予的權利。
內在價值：是由期權合約的行權價格與期權標的市場價格的關系決定的，表示期權買方可以按照比現有市場價格更優的條件買入或者賣出標的證券的收益部分。
內在價值只能為正數或者為零。
只有實值期權才具有內在價值，平值期權和虛值期權都不具有內在價值。實值認購期權的內在價值等於當前標的股票價格減去期權行權價，實值認沽期權的行權價等於期權行權價減去標的股票價格。
時間價值：是指隨著時間的延長，相關合約標的價格的變動有可能使期權增值時期權的買方願意為買進這一期權所付出的金額，它是期權權利金中超出內在價值的部分。
期權的有效期越長，對於期權的買方來說，其獲利的可能性就越大;而對於期權的賣方來說，其須承擔的風險也就越多，賣出期權所要求的權利金就越多，而買方也願意支付更多權利金以擁有更多盈利機會。所以一般來講，期權剩餘的有效時間越長，其時間價值就越大。
Ⅲ 怎麼確定實值期權、平值期權、虛值期權
認購期權：合約標的現價＞行權價格為實值；合約標的現價=行權價格為平值；合約標的現價＜行權價格為虛值。認沽期權：合約標的現價＞行權價格是虛值；合約標的現價＝行權價格為平值；合約標的現價＜行權價格為實值。
Ⅳ 期權為什麼具有價值 個股期權的價格高低怎麼看
個股期權的價格高低有個理論值的，但不具參考意義，所以，好多軟體的T型報價裡面都沒有這個現象。一般意義來說，參考三個，一是到期時間剩餘量，也就是剩餘時間價值，一個是delta，就是和標的物漲跌的相關性，最後就是隱含波動率。
Ⅳ 股票期權的公允價值如何計算
期權的公允價值由相應標的物的市場公允價值和期權與行權截止日期之間的時間價值確定。 假設公司允許員工以每股10元的價格購買股票，股票在授予日的公允價值為15元，期權的公允價值=15-10=5元。 2016年股價下跌，重定價日股價為11元，原期權公允價值變為11-10=1元。 重新定價，允許員工以每股8元的價格購買股票，重新定價期權的公允價值=11-8=3元，增加2元。 因此，期權的公允價值是一個價差概念。
同時，期權的股票價格與行權的股價之間的關系是一樣的。如果股價高於行權價，期權就可以被行權，而未來股價高於行權價就不能被行權。因此，期權的股票價格和未來的股票價格之間的關系是一個動態變化過程，股價變化與未來股價變化之間的關系也是動態的 。
Ⅵ 什麼是期權的執行價格
期權的執行價格是：在期權交割日時，交易雙方成交標的物的價格。執行價格在期權合約上市的時候便規定，之後不能改變，執行價格可以是賣出標的物的價格，也可以是買入標的物的價格。
執行價格的分類：
一、期權執行價格
價格的重要性金融期貨期權合約期權執行價格又稱協議價格，期權協議價格，行使價格，是指期權交易雙方商定在規定未來某時期內執行買權和賣權合同的價格。期權執行價格的規定：執行價格確定後，在期權合約規定的期限內，無論價格怎樣波動，只要期權的買方要求執行該期權，期權的賣方就必須以此價格履行義務。
二、股票期權執行價格
1.股票期權執行價格是否合理，關繫到期權激勵是否有效。股票期權執行價格的確定，一般有三種方法：一是現值有利法，即執行價格低於當前股價；二是等現值法，即執行價格等於當前市價；三是現值不利法，即執行價格高於當前股價。
2.對於上市公司來說，應當遵循公平市價原則和發行價原則。然而，即便我們能夠完全遵循這兩條原則，在制定股票期權執行價格時仍會遇到很多需要解決的矛盾。具體表現在：如將股票期權執行價格定為「公允市價」，則「公允市價」存在被人為扭曲的可能，因為股東們不能防止在可預期的期權贈與日前公司的某些財務記錄被蓄意操縱，以獲得一個較低的執行價格；而在行權日也可能存在人為扭曲的高市價，以獲得較高的執行價格差。解決這一矛盾的惟一可行的辦法是，將「公允市價」定義為某一時間段(如股權售出日前若干個交易日)的平均收市價，並規定執行價格為該平均值的80％-110％。
Ⅶ 看跌期權價格計算方式
看跌期權價格計算方式：
看跌期權價格＝看漲期權價格＋執行價格的現值－股票的價格。
拓展資料：
1.如果未來基礎資產的市場價格下跌至低於期權約定的價格（執行價格），看跌期權的買方就可以以執行價格（高於當時市場價格的價格）賣出基礎資產而獲利，所以叫做看跌期權。如果未來基礎資產的市場價格上漲超過該期權約定的價格，期權的買方就可以放棄權利。按期權履約的方式可以分歐式期權與美式期權。歐式期權必須持有至到期，是不能提前執行的。美式期權可以看做附有提前執行權利的歐式期權，即可以在到期日前的任一交易日行權。
2.期權價值影響因素
a、標的資產市場價格。在其他條件一定的情形下，看漲期權的價值隨著標的資產市場價格的上升而上升;看跌期權的價值隨著標的資產市場價格的上升而下降。
b、執行價格。在其他條件一定的情形下，看漲期權的執行價格越高，期權的價值越小;看跌期權的執行價格越高，期權的價值越大。
c、到期期限。對於美式期權而言，無論是看跌期權還是看漲期權，在其他條件一定的情形下，到期時間越長，期權的到期日價值就越高。
3.看跌期權給予投資者在某一特定日期或在此日期之前以特定的執行價格出售某種資產的權利。例如，一份執行價格為85美元的EXXON股票10月份到期看跌期權給予其所有者在10月份期滿或到期之前以85美元的價格出售EXXON股票的權利，甚至就算當時該股票的市場價格低於85美元。
當資產價值下跌的時候，看跌期權的利潤才會增長。只有當其持有者確定資產當前價格比執行價格低時，看跌期權才會被執行。
Ⅷ 期權的價格是定死的嗎
期權的價格不是固定的，它就像你玩的股票一樣，會隨著市場的行情去波動。50ETF期權是場內期權，開市和收市時間和股票一樣。價格的變化取決於交易的活躍性，一般而言平值、虛一檔、實一檔的期權流動性最好。
事實上，有心的朋友會發現，越是流動性好的期權走勢和標的證券的分時走勢相關性越高。所以在進行期權交易的時候，標的證券的走勢對於期權價格的影響非常重要。
除此之外，期權的漲跌幅度也是非常大的。因為期權本身是自帶天然杠桿，所以作為買方是具有以小博大的優勢。所以在行情一旦往預期的方向發展，作為買方的認購或者認沽期權是有概率出現幾倍甚至幾十倍的行情。
Ⅸ 期權的定價標準是什麼比如公司市值目前60億
期權價格的定價標准非常復雜，合約標的當前價格、行權價格、合約到期剩餘時間、市場無風險利率、標的價格預期波動率等因素都會影響期權價格。
1.合約標的當前價格
合約標的當前價格對期權價格的影響非常重要，在其他變數不變的情況下，合約標的價格上漲，則認購期權價格上漲，而認沽期權價格下跌。對於行權價格為10元的認購期權來說，如果標的價格從9元上漲到11元，那麼合約就從虛值變成了實值，因此期權的價格也會相應上漲。而對於同樣行權價格為10元的認沽期權來說，如果標的價格從9元漲到11元，期權就從實值變成了虛值，其價格會下跌。
2.行權價
在其他變數不變的情況下，對於認購期權來說，行權價越高，期權價格越低，認沽期權則相反。因此，行權價為55元的認購期權比65元的認購期權貴，這是因為期權買方可以以更低的價格買入標的證券，購買價格更優越，而行權價為75元的認沽期權則比65元的認沽期權貴，因為期權買方可以以更高的價格賣出標的證券。
3. 合約到期剩餘時間
對於期權來說，期權到期期限越長，期權買方獲利的可能性越大，期權賣方須承擔的風險也越大，因此期權價格越高。從另外一個角度看，期權到期期限越長，期權的時間價值也就越高。如果把期權比作保險，保險期間越長，所支付的保險費理應越高。
4.市場無風險利率
對於期權來說，時間代表了獲利的機會。因此，期權的到期剩餘時間越長，它能轉化為實值期權的可能性就越大，買方也就更願意付出更高的權利金。在其他變數不變的情況下，到期剩餘時間越長的期權對於期權買方的價值越高，對期權賣方風險越大，其價格也因此更高。。
5.標的價格預期波動率
標的價格的預期波動率是用來衡量標的證券未來價格變動不確定性的指標，簡單地說，標的證券價格波動率越高，期權合約到期時成為實值期權的可能性就越高，因此相應合約具有更高的價格。
波動率分為歷史波動率和隱含波動率，前者是從標的證券價格的歷史數據中計算出的收益率的標准差，後者是通過期權現價反推出來的波動率，反映的是市場對未來存續期內標的證券價格波動的判斷。在股票市場中，投資者習慣用市盈率判斷股價高低，在期權市場中，隱含波動率成為類似市盈率的估值工具，投資者可以通過比較隱含波動率和歷史波動率，判斷期權價格被高估還是低估，從而進行賣出或買入的操作。